Construção e
utilização do ábaco
Cada bastão contém bolas
móveis, que podem ser movidas para cima e para baixo. Assim, de acordo com o
número de bolas na posição inferior, temos um valor representado. Pode haver
variações, como na figura ao lado, onde se fazem divisões na moldura e o número de bolas é alterado.
Observe que na figura temos o número 6302715408 (por exemplo 8=5+3, com a parte
superior representando múltiplos de 5, neste caso 0, 5 e
10).
Estrutura com hastes metálicas
divididas em duas partes, das quais uma tem duas contas e a outra, cinco
contas, que deslizam nessas hastes. Os ábacos orientais dispõem de varas
verticais divididas em dois, com as contas sobre a barra tendo o valor cinco
vezes superior aos das contas abaixo. O suanpan chinês
dispõe de duas contas acima da barra ou divisor e cinco abaixo. O moderno soroban japonês por outro lado, tem uma conta acima e
quatro abaixo do divisor.
Algumas hastes podem ser
reservadas pelo operador para armazenar resultados intermediários. Desta forma,
poucas guias são necessárias, já que o ábaco é usado mais como um reforço de
memória enquanto o usuário faz as contas de cabeça.
Exemplo de cálculo
O cálculo começa à esquerda,
ou na coluna mais alta envolvida em seu cálculo, e trabalha da esquerda para a
direita. Assim, se tiver 548 e desejar somar 637, primeiro colocará 548 na
calculadora. Daí, adiciona 6 ao 5. Segue a regra ou padrão 6 = 10 - 4 por
remover o 5 na vara das centenas e adicionar 1 na mesma vara (-5 + 1 = -4) daí,
adicione uma das contas de milhares à vara à esquerda. Daí, passa a somar o
três ao quatro, o sete ao oito, e no ábaco aparecerá a resposta: 1.185.
Devido a operar assim, da esquerda
para a direita, pode começar seu cálculo assim que saiba o primeiro dígito. Na
aritmética mental ou escrita, calcula a partir das unidades ou do lado direito
do problema.
O ábaco é um antigo
instrumento de cálculo, que segundo muitos historiadores foi inventado na
Mesopotâmia, pelo menos em sua forma primitiva e depois os chineses e romanos o
aperfeiçoaram.
Daí, uma variedade de ábacos
foram desenvolvidos; o mais popular utiliza uma combinação de dois números-base
(2 e 5) para representar números decimais. Mas os mais antigos ábacos usados
primeiro na Mesopotâmia e depois na Grécia e no Egipto por escrivães usavam números sexagesimais representados
por factores de 5, 2, 3 e 2 por cada dígito.
A palavra ábaco originou-se
do Latim abacus, e esta veio do grego abakos. Esta era um derivado da forma genitiva abax (lit. tábua de
cálculos). Porque abax tinha também o sentido de tábua
polvilhada com terra ou pó, utilizada para fazer figuras geométricas,
alguns linguistas especulam que tenha vindo de uma língua semítica (o púnico abak, areia,
ou o hebreu ābāq (pronunciado a-vak),areia).
Ábaco mesopotâmico
O primeiro ábaco foi quase de
certeza construído numa pedra lisa coberta por areia ou pó. Palavras e letras
eram desenhadas na areia; números eram eventualmente adicionados[3] e bolas de pedra eram utilizadas para ajuda nos
cálculos. Os babilóniosutilizavam este ábaco em
2700–2300 a.C..[4] A origem do ábaco de contar com bastões [1] é
obscuro, mas a Índia, aMesopotâmia ou o Egito são
vistos como prováveis pontos de origem.[5] A China desempenhou
um papel importante no desenvolvimento do ábaco.
Ábaco babilónio
Os babilónios podem ter
utilizado o ábaco para operações de adição e subtracção. No entanto, este
dispositivo primitivo provou ser difícil para a utilização em cálculos mais
complexos.[6] Algumas pessoas conhecem um caracter do
alfabeto cuneiforme babilónio que pode ter sido derivado de uma representação
do ábaco.[7] Por isso esse ábaco é muito importante.
Ábaco egípcio
O uso do ábaco no antigo Egito é mencionado pelo historiador grego Crabertotous, que
escreve sobre a maneira do uso de discos (ábacos) pelos egípcios, que era oposta
na direção quando comparada com o método grego. Arqueologistas encontraram
discos antigos de vários tamanhos que se pensam terem sido usados como material
de cálculo. No entanto, pinturas de parede não foram descobertas, espalhando
algumas dúvidas sobre a intenção de uso deste instrumento.[8]
Ábaco grego
Uma tábua encontrada na ilha
grega de Salamina em 1846 data
de 300 a.C., fazendo deste o mais velho ábaco descoberto até
agora. É um ábaco de mármore de 149 cm de comprimento, 75 cm de
largura e de 4,5 cm de espessura, no qual existem 5 grupos de marcações.
No centro da tábua existe um conjunto de 5 linhas paralelas igualmente
divididas por uma linha vertical, tampada por um semicírculo na intersecção da
linha horizontal mais ao canto e a linha vertical única. Debaixo destas linhas,
existe um espaço largo com uma rachadura horizontal a dividi-los. Abaixo desta
rachadura, existe outro grupo de onze linhas paralelas, divididas em duas
secções por uma linha perpendicular a elas, mas com o semicírculo no topo da
intersecção; a terceira, sexta e nona linhas estão marcadas com uma cruz onde
se intersectam com a linha vertical.
Ábaco romano
Ábaco romano reconstruído.
O método normal de
cálculo na Roma antiga, assim como na Grécia antiga, era mover bolas de
contagem numa tábua própria para o efeito. As bolas de contagem originais
denominavam-se calculi. Mais tarde, e na Europa medieval, os jetons começaram
a ser manufacturados. Linhas marcadas indicavam unidades, meias dezenas,
dezenas, etc., como na numeração romana. O
sistema decontagem contrária continuou até à queda de Roma, assim
como na Idade Média e até ao século XIX, embora já com uma utilização mais
limitada.[9]
Em adição às mais
utilizadas bolas de contagem frouxas, vários espécimens de um ábaco romano
foram encontrados, mostrados aqui em reconstrução. Tem oito longos sulcos
contendo até 5 bolas em cada e 8 sulcos menores tendo tanto uma como nenhuma
bola.
Nos sulcos
menores, o sulco marcado I marca unidades, o X dezenas e assim sucessivamente
até aos milhões. As bolas nos sulcos menores marcam os cincos - cinco unidades,
cinco dezenas, etc. - essencialmente baseado na numeração romana. As duas
últimas colunas de sulcos serviam para marcar as subdivisões da unidade
monetária. Temos de ter em conta que a unidade monetária se subdividia em 12
partes, o que implica que o sulco longo marcado com o sinal 0(representando os
múltiplos da onça ou duodécimos da unidade monetária) comporte um máximo de 5
botões, valendo cada uma 1 onça, e que o botão superior valha 6 onças. Os
sulcos mais pequenos à direita são fracções da onça romana sendo
respectivamente, de cima para baixo, ½ onça, ¼ onça e ⅓ onça.
Ábaco indiano
Fontes do século I, como a Abhidharmakosa, descrevem a
sabedoria e o uso do ábaco na Índia.[10] Por volta do século V, escrivães indianos estavam já à procura de gravar os
resultados do Ábaco.[11] Textos hindus usavam o termo shunya (zero)
para indicar a coluna vazia no ábaco.[12]
Ábaco chinês
Suanpan
(o número representado na figura é 6.302.715.408).
A menção mais
antiga a um suanpan (ábaco chinês) é encontrada num livro do século I da Dinastia Han Oriental, o Notas
Suplementares na Arte das Figuras escrito por Xu Yue.[13] No entanto, o aspecto exato deste suanpan é
desconhecido.
Habitualmente, um suanpan tem
cerca de 20 cm de altura e vem em variadas larguras, dependendo do
fabricante. Tem habitualmente mais de sete hastes. Existem duas bolas em cada
haste na parte de cima e cinco na parte de baixo, para números decimais e hexadecimais. Ábacos mais
modernos tem uma bola na parte de cima e quatro na parte de baixo. As bolas são
habitualmente redondas e feitas em madeira. As bolas são contadas por serem
movidas para cima ou para baixo. Se as mover para o alto, conta-lhes o valor;
se não, não lhes conta o valor. O suanpan pode voltar à
posição inicial instantaneamente por um pequeno agitar ao longo do eixo
horizontal para afastar todas as peças do centro.
Os suanpans podem
ser utilizados para outras funções que não contar. Ao contrário do simples
ábaco utilizado nas escolas, muitas técnicas eficientes para o suanpan foram
feitas para calcular operações que utilizam a multiplicação, a divisão, a adição, a subtração, a raiz quadrada e a raiz cúbica a uma alta velocidade.
No famoso quadro Cenas
à Beira-mar no Festival de Qingming pintado por Zhang Zeduan (1085-1145)
durante a Dinastia Song (960-1297),
um suanpan é claramente visto ao lado de um livro de encargos
e de prescrições do doutor na secretária de um apotecário.
A similaridade do
ábaco romano com o suanpan sugere que um pode ter inspirado o
outro, pois existem evidências de relações comerciais entre o Império Romano e
a China. No entanto, nenhuma ligação directa é passível de ser demonstrada, e a
similaridade dos ábacos pode bem ser concidência, ambos derivando da contagem
de cinco dedos por mão. Onde o modelo romano tem 4 mais 1 bolas por espaço
decimal, o suanpan padrão tem 5 mais 2, podendo ser utilizado
com números hexadecimais, ao contrário do romano. Em vez de funcionar em cordas
como os modelos chinês e japonês, o ábaco romano funciona em sulcos,
provavelmente fazendo os cálculos mais difíceis.
Outra fonte
provável do suanpan são as pirâmides
numéricas chinesas, que operavam com o sistema decimal mas não
incluiam o conceito de zero. O zero foi provavelmente introduzido aos chineses
na Dinastia Tang (618-907),
quando as viagens no Oceano Índico e no Médio Oriente teriam dado contacto directo com a Índia e o Islão, permitindo-lhes saber o conceito de zero e do ponto decimal de mercantes e matemáticos indianos e
islâmicos.
O suanpan migrou
da China para a Coreia em cerca do ano 1400.
Os coreanos chamam-lhe jupan (주판), supan (수판)
or jusan (주산).[14]
Ábaco japonês
Soroban
japonês.
Um soroban (算盤,
そろばん,
lit. tábua de contar) é uma versão modificada pelos japoneses do suanpan.
É planeado do suanpan, importado para o Japão antes do século XVI.[15] No entanto, a idade de transmissão exacta e o
meio são incertos porque não existem registos específicos.[16][17] Como osuanpan, o soroban ainda
hoje é utilizado no Japão, apesar da proliferação das calculadoras de bolso,
mais baratas.
A Coreia tem
também o seu próprio, o supan (수판),
que é basicamente o soroban antes de tomar a sua actul forma
nos anos 30. O soroban moderno
também tem este nome.[18]
Ábacos dos nativos americanos
Representação
de um quipu Inca.
Algumas fontes
mencionam o uso de um ábaco chamado nepohualtzintzin na antiga
cultura azteca. Este ábaco mesoamericano utiliza um sistema de base 20 com 5
dígitos.
O quipu dos
Incas era um sistema de cordas atadas usado para gravar dados numéricos, como
varas de registo avançadas - mas não eram usadas para fazer cálculos. Os
cálculos eram feitos utilizando uma yupana (quechua para tábua de contar), que estava
ainda em uso depois da conquista do Peru. O princípio de trabalho de uma yupana é
desconhecido, mas, em 2001, uma explicação para a base matemática
deste instrumento foi proposta. Por comparação à forma de várias yupanas,
os investigadores descobriram que os cálculos eram baseados na sequência
Fibonnaci, utilizando 1,1,2,3,5 e múltiplos de 10, 20 e 40 para os
diferentes campos do instrumento. Utilizar a sequência Fibonnaci manteria o
número de bolas num campo no mínimo.
Ábaco russo
O ábaco russo, o schoty (счёты),
normalmente tem apenas um lado comprido, com 10 bolas em cada fio (excepto um
que tem 4 bolas, para fracções de quartos de rublo). Este costuma estar do lado
do utilizador. (Modelos mais velhos têm outra corda com 4 bolas, para quartos
de kopeks, que eram emitidos até 1916.
O ábaco russo é habitualmente utilizado na vertical, com os fios da esquerda
para a direita ao modo do livro. As bolas são normalmente curvadas para se
moverem para o outro lado no centro, em ordem para manter as bolas em cada um
dos lados. É clarificado quando as bolas se devem mover para a direita. Durante
a manipulação, as bolas são movidas para a direita. Para mais fácil
visualização, as duas bolas do meio de cada corda (a 5ª e a 6ª; no caso da
corda excepção, a 3ª e a 4ª) costumam estar com cores diferentes das outras
oito. Como tal, a bola mais à esquerda da corda dos milhares (e dos milhões, se
existir) costuma também estar pintada de maneira diferente.
O ábaco russo estava
em uso em todas as lojas e mercados de toda a antiga União Soviética, e o uso
do ábaco era ensinado em todas as escolas até aos anos 90. Hoje é visto como algo arcaico e foi substituído pela
calculadora. Na escola, o uso da calculadora é ensinado desde os anos 90.
Ábaco escolar
Ábaco escolar utilizado numa escola primária dinamarquesa, do século XX.
Ábaco
escolar utilizado numa escola primária dinamarquesa, do século XX.
Em todo o mundo,
os ábacos têm sido utilizados na educação infantil e
na educação básica como
uma ajuda ao ensino do sistema numérico e da aritmética. Nos países ocidentais, uma tábua com bolas similar
ao ábaco russo mas com fios mais direitos e um plano vertical tem sido comum
(ver imagem).
O tipo de ábaco
aqui mostrado é vulgarmente utilizado para representar números sem o uso do
lugar da ordem dos números. Cada bola e cada fio tem exatamente o mesmo valor
e, utilizado desta maneira, pode ser utilizado para representar números acima
de 100.
A vantagem
educacional mais significante em utilizar um ábaco, ao invés de bolas ou outro
material de contagem, quando se pratica a contagem ou a adição simples, é que
isso dá aos estudantes uma ideia dos grupos de 10 que são a base do nosso
sistema numérico. Mesmo que os adultos tomem esta base de 10 como garantida, é
na realidade difícil de aprender. Muitas crianças de 6 anos conseguem contar
até 100 de seguida com somente uma pequena consciência dos padrões envolvidos.
Usos pelos deficientes visuais
Um ábaco adaptado,
inventado por Helen Keller e chamado de Cranmer, é ainda utilizado
por deficientes visuais. Um
pedaço de fabrico suave ou borracha é colocado detrás das bolas para não
moverem inadvertidamente. Isto mantém as bolas no sítio quando os utilizadores
as sentem ou manipulam. Elas utilizam um ábaco para fazer as funções
matemáticas multiplicação, divisão, adição, subtracção, raíz quadrada e raíz
cúbica.
Embora alunos
deficientes visuais tenham beneficiado de calculadoras falantes, o uso do ábaco
é ainda ensinado a estes alunos em idades mais novas, tanto em escolas públicas
como em escolas privadas de ensino especial. O ábaco ensina competências
matemáticas que nunca poderão ser substituídas por uma calculadora falante e é
uma ferramenta de ensino importante para estudantes deficientes visuais. Os
estudantes deficientes visuais também completam trabalhos de matemática
utilizando um escritor de Braille e de código Nemeth (uma espécie de código
Braille para a matemática), mas as multiplicações largas e as divisões podem
ser longas e difíceis. O ábaco dá a estudantes deficientes visuais e
visualmente limitados uma ferramenta para resolver problemas matemáticos que
iguala a velocidade dos seus colegas sem problemas visuais utilizando papel e
lápis. Muitas pessoas acham esta uma máquina útil durante a sua vida.
Foi mostrado que
alunos chineses conseguem fazer contas complexas com um ábaco, mais rapidamente
do que um ocidental equipado com uma moderna calculadora eletrônica. Embora a calculadora apresente a
resposta quase instantaneamente, os alunos conseguem terminar o cálculo antes
mesmo de seu competidor acabar de digitar os algarismos no teclado da calculadora.[19]
